线段与角的计算
——动中不变
太仓市沙溪实验中学 龚辉
1、设计思想：
本节课教学模式主要采用基于多媒体技术的“互动式”教学模式及学生自主探索与教师适时点拨归纳相结合的教学方法。通过竞赛题的抛出，引发学生的思维冲突，并启发学生提出问题。在整个教学过程中，贯穿着从难（一般）到简（特殊）、从简（特殊）到难（一般）的数学思想，并注重知识的模块式学习和纵向类比迁移式学习相结合，最终达到培养学生思维能力的目的。
2、教材分析：
⑴《初中数学课程标准》要求，能够利用线段的中点及角的平分线进行简单的计算；
⑵本课内容主要是关于线段的中点及角的平分线的简单计算，由于与代数运算及引入字母相联系，故而增加了一定的难度；但通过本课时的学习，学生能够解决一类运动中保持不变的问题，对后续的学习具有深远的意义。
3、学情分析：
⑴由于本课时为复习课，学生已经学习了线段和角的相关知识，具有一定的处理和解决几何问题的能力；
⑵学生在学习本课时，可能会对字母的引入不适应也不理解，从而对解题策略产生影响；
⑶在学习过程中可以学生自主探究为主，辅以小组讨论的形式。
4、知识目标：
⑴回顾与巩固线段的中点与角的平分线相关内容；
⑵初步接触在运动中保持不变性的几何问题，并能用代数的方法解决；
⑶进一步培养学生的画图和识图能力。
5、能力目标：
⑴在探索中进一步渗透从特殊到一般的数学思想；
⑵在运用中进一步体验用字母代替数的优越性。
6、情感目标：
⑴通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；
⑵通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征；
⑶培养学生的实践能力和探索精神，并能从实践中寻找规律。
7、重点难点：
⑴几何规律的获得（数学实验与实践）与解决策略（代数计算）；
⑵几何计算与证明书写格式的规范；
⑶复杂几何图形中线段与角的和与差的关系。
8、课前准备：
⑴学生的学习准备：日常教学用品；
⑵教师的教学准备：三角尺、电脑（几何画板、思维导图软件）
⑶教学环境的要求：多媒体教室（液晶投影仪、黑板）。
9、教学过程：
一、知识导向
1、以两个竞赛题引入：
⑴已知线段AB=8，点C在线段AB上运动，若M、N分别为AC、CB的中点，求证：MN为定值。
⑵已知∠AOB=80o，射线OC在角内运动，若OM、ON分别平分∠AOC、∠COB，求证：∠MON为定值。
学生活动：动脑不动手。
点评：本题难度较大，不要求学生作出解答，只要能分析该题中懂（AB和∠AOB的值、线段中点和角平分线概念）与不懂（运动和定值）即可。
2、线段中点的定义和数学表达式；
3、角的平分线的定义和数学表达式。
教师活动：利用思维导图，展现两个概念的三种使用方法，并板书。
学生活动：复习回顾两个概念。
点评：明确数学表达式的三种方式，提出表达式书写的固定原则。
二、新课拆析
1、线段中的一题多变
例1、已知线段AB=8cm，点C在线段AB上，AC=4cm，若点M、N分别为AC、CB的中点，求MN的长.
点评：将点C的位置特殊化，体现了从一般到特殊的数学思想方法，将复杂问题先简单化，猜想出定值的大小。
变式1、你还能找到哪些比较特殊位置的点C吗？
点评：点C的特殊位置还可以是线段AB的两个端点。
变式2、若将AC的长取其它各值呢？结果会改变吗？
学生活动：学生独立思考与小组合作讨论相结合，学生一般都取整数。并让一个学生板演，将原例1的解答过程进行修改。
变式3、能否将点C改为：线段AB上的任意一点呢？结果又会怎样？
教师活动：
⑴用几何画板验证问题的正确性；
⑵在解决过程中遇到了什么困难？能否与前面的方法进行对比，找到解决问题的关键所在？（已知AC的长与未知AC的长的区别）；
⑶如何用数量来解决“点C为线段AB上任意一点”？（体现特殊到一般的数学思想与字母代替数的数学方法）；
⑷教师板演要点：动à设变长线段长为x，并板书解答过程。
（5）归纳：结果为什么是定值？本例是如何体现“不变”的（含字母的项消失，板书）？
学生活动：师生交互，共同探索难点的解决策略。
点评：是一环节是本课时的重点和难点，主要是字母的引入和线段的分解，学生在理解上可能存在困难。
变式4、能否通过改题目，使计算结果MN=6或是8呢？
学生活动：找规律。
教师活动：在学生找到规律后，用几何画板验证这个规律。
点评：通过改变AB的长度，寻找MN与AB的规律。
变式5、若将本题改为：“求证：MN= 1/2AB”，你能证明吗？
教师活动：在例1的基础上再进行修改，得出证明过程。
点评：该题的证明方法较多，与本课时有关的即为代数计算法，逻辑证明法可提及，但可不讲。
变式6、若点C在直线AB上呢？有几种情况？结论还能成立吗？试解决之。
学生活动：先动手画图，再挑其中的一种情况进行研究。
教师活动：归纳可能的情况，一共有三种：点C在AB的延长线上、点C在BA的延长线上、点C在线段AB上。
点评：培养学生的发散性思维，以及考虑问题的全面性。
变式7、点C还能在哪呢？大胆地猜想，并画出图形吗？（不要证明）
学生活动：画图，测量。
教师活动：利用几何画板进行验证。
点评：注重思维的广阔性，避免定向思维，
同时，也为后续知识中位线定理埋下伏笔。
2、与角的运算的类比
例2、已知∠AOB=800，OC在∠AOB内，∠AOC=300，若OM、ON分别为∠AOC、∠COB的角平分线，求∠MON.
教师活动：对照例1的解答过程，板演例2的解答过程，并指出两者的联系。
点评：教学中应该注重同类型题的横向串联，真正起到举一反三的作用。
变式1、当∠AOB=1800时，判断∠MON的度数。
学生活动：利用设字母的方法，计算出∠MON的度数。
教师活动：利用几何画板验证之。
点评：这个结论很重要，也很常见。虽然几何证明的方法可以解决，但代数计算更易于理解。
变式2、若在例2的基础上，将OC移动到∠AOB的外部，则∠MON又将如何呢？
点评：此题机动，可引导学生仿照线段的解法做。
三、小结回顾
今天你学到了什么？
教师活动：利用思维导图展现课时脉络。
四、作业布置
完成例2的变式2
10、板书设计：
