太仓市沙溪实验中学 龚辉
“教育形态的数学”与“学术形态的数学”之间的一个重大区别，在于是否具有“数学欣赏”的内涵。历经沉浮的韦达定理，又将出现在必修课之中。那么它美在哪里？如何欣赏？让我们做一点观察和分析。
一．架设在已知和未知之间的天堑沟通之桥
“一桥飞架南北，天堑变通途”，韦达定理就是这样的一座桥梁。韦达定理之美，在于这种沟通已知和未知的数学智慧之美。
韦达被后世尊称为“代数之父”，这是因为他在发展现代的符号代数上起了决定性的作用。韦达生活在16世纪末的法国，他是一名律师，只是在闲暇之余研究一些数学问题。1591年，韦达不仅首先使用字母表示未知数，而且使用字母表示方程中的系数，使方程的形式极为简洁。同时，韦达还发现了根与系数的关系，发展了解决代数方程的统一方法。
对一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），我们有两座山峰：
l 已知的一座山峰，其中是各个方程的系数[a，b，c]；
l 未知的是另一座山峰，其中是方程的各个根[x1，x2]；
韦达定理则是沟通已知和未知这两座山峰的桥梁。它是说：
一方面，可以用已知系数表达未知的方程的根：
x1＝ ，x2＝ ，称为一元二次方程万能求根公式；
另一方面，未知的方程的根x1，x2，又能够表达已知的系数：
x1＋x2＝ ，x1×x2＝ ，称为一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。
如果方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的首项系数为1，则两根之和正好是一次项系数的相反数，两根之积正好是常数项，简洁、清新、平和。
大自然的数学规律往往深藏于现象之后。我们预先给出一个方程，本来并不知道它的系数和存在的根有什么联系。韦达定理揭开了这层神秘的面纱，终于成为初中数学里最重要的定理之一。
发现真理的道路并非总是笔直的，难免要经过曲折。韦达在推导根与系数关系时所用的方法就兜了一个大圈子：用代换法来解方程。具体做法如下：
设有一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），引入代换x＝y＋z，代入方程得：a(y＋z)2＋b(y＋z)＋c＝0，即：ay2＋(2az＋b)y＋az2＋bz＋c＝0．……①
令2az＋b＝0，得：z＝－ ．……②
②代入①得，ay2＋a×(－ )2＋b×(－ )＋c＝ay2＋ ＝0．
即有y2＝ ．
∴y＝± ＝± ．
∴x＝y＋z＝－ ± ．
令x1＝ ，x2＝ ，
则：x1＋x2＝－ ，x1×x2＝ .
二．对称与和谐的美丽之桥
韦达定理不仅是一座克服困难的桥梁，而且本身具有对称与和谐之美。
众所周知，几何图形会带给人们对称之美，例如轴对称图形和中心对称图形等。然而在代数中也有对称美。韦达定理则是代数中对称美的一个重要标志。
对称，是一种运动。例如一个图形经过平移、翻转，旋转的运动之后，图形的大小形状都不变，于是显示出美来。这种运动之下的不变性质，是一种数学美。几何图形如此，代数上也是如此。
现在，我们将韦达定理中的x1变为x2，x2变为x1，这是一种代数的变换（运动）。但是结论中的代数式x1＋x2和x1×x2没有变，形式上与先前完全一样。这就是代数式的对称性。
众所周知，世间万物都是在变化的，数学的智慧是要找出“变化中不变的规律”。这种不变性，具有美学的价值。韦达正是在错综复杂的，看似变化无常的方程中发现了根与系数的不变规律，开创了代数学的先河。
韦达定理的对称式x＋y和x×y具有简单和谐的内涵。常见的x2＋y2＝(x＋y)2－2xy， = 等，就是把复杂的对称式，用韦达定理的对称式加以表达，于是构成了一道亮丽的风景。
例1．已知a≠b，且a2+2a－1=0，b2+2b－1=0．求代数式 的值．
解：由已知条件可知，a、b为方程z2+2z－1=0的两根．
根据韦达定理：a＋b=－2，ab=－1．
∴ = = = =14．
简单的美丽和内在的和谐，就像一座美丽的虹桥，让人观赏之余流连忘返，回味无穷。
三．有用且实用的高效之桥
庞加莱曾这样论述过数学和美学：“数学的优美感，不过使问题的解答适合我们心灵需要而产生的一种满足感”。满足感，在运用韦达定理时常常可以感受到。一些巧妙的设计，会使人的心灵产生震动，乃至体会到大自然内在数学规律的美妙。
1．方程验根，借韦达定理可以曲径通幽。
一般说来，检验一个方程的根比较复杂。有时借助韦达定理，转个弯子容易展现一片幽美的天地。例如在韦达定理教学的引入阶段，如果先展示一组一元二次方程：x2－x－2＝0、x2＋x－2＝0、2x2－3x＋1＝0和x2－2x－1＝0等，要求学生解题后快速判断解答是否正确（验根）。学生解答之后需要将求得之根逐一代入方程验算，相当麻烦。此时教师充当“魔术师”的角色，借助韦达定理迅速地判断出方程根的正确性。教师的魔力，来源于韦达定理的内在和谐性，直接通向真理。
2．中介牵线，借韦达定理可以求证其他结果。大家知道，设一个字母不一定为了求这个字母。“设而不求”的思想是指：设定一些辅助的未知量，通过辅助未知量把这些不太明显的关系表示出来，得到新结论，但却不必求出这些未知量的本身的数值。
例2．已知实数x，y，z满足x=6－y，z2=xy－9，求证：x=y．
解：由已知条件得：x＋y=6，xy=z2＋9．
由韦达定理知x、y可看作方程t2－6t＋z2＋9=0的两个根．
又已知x、y都是实数，故方程的判别式△≥0，
即(－6)2－4(z2＋9)≥0．
∴－4z2≥0，得z2≤0．
而z是实数，必有z2≥0，
∴z2=0，即z=0．
∴△=0，于是原方程有两个相等实根，即x=y．
这里的t，z都是中介变量，并不需要求出来。
3．建立模型，韦达定理能应用于物理问题。
电学、光学、热学中的有些问题若用物理方法求解，比较烦琐，容易出错。若用数学中的“韦达定理”来解，则能别开生面，不仅缩减解题步骤，而且大大提高了解题的正确性。
例3．两个定值电阻，串联后总电阻为 ，并联后总电阻为 .求这两个定值电阻的阻值分别为多少?
解：由题意可得:
………………①
………………②
将①代入②得:
……………………③
由①③可得R1、R2是关于x的方程: 的两个实数根．
解之得: ， ，
∴ 或
四．拓展与推广
韦达定理的这座桥梁，还可以进一步加强。在深度和广度上体现数学之美。
1．韦达定理可以推广。在韦达定理的教学中，学生非常容易提出这样的问题：为什么韦达只研究两根之和、两根之积，而不研究两根之差或两根之商呢？通过与学生一起探讨，发现两根之差也具有非常明显的特征：｜x1－x2｜= （△=b2－4ac），于是学生们将它命名为“超级韦达定理”。它在解决方程两根的差的问题和二次函数与x轴两个交点间距离的问题时非常有用。
2．韦达定理可以拓展。在初中阶段，由于方程根的范围是实数系，在运用韦达定理时就会碰到一个非常麻烦的问题：根的存在性。例如在教学中，我让学生做了一个多项选择题：
在下列方程中，两根之和为2的方程是：
A． ， B． ，
C． ， D． ．
结果全班37位同学中有30位选择了A和B，仅有5位选择了A，另有2位选择其它答案。可见，初中阶段学习韦达定理，两根是否存在是定理成立的隐含条件，不可或缺。但是，当数系扩充到复数集时，若方程无实数根，而韦达定理却依然适用！例如上题中选择支B的虚数根为：x1=1＋ i，x2=1－ i，依然满足韦达定理。
3．韦达定理可以扩充到高次方程。对于一元n次方程，如果有n个根x1，x2，…xn（1799年高斯证明在复数域内确实存在n个根），也能写出n个变量的线性方程组：
只是现在中学里只讨论一元二次的情形罢了。
参考文献：
1．《数学美与课堂教学》 张奠宙 木振武 《数学教育学报》 2001年第4期；
2.《如何教学生欣赏数学》 李祥立 《数理天地》 2007年第4期；
【张奠宙点评】求解数学问题，好比猜谜。一道好的谜语，谜面是已知的信息，谜底则是我们寻求的与谜面相适应的未知结果。大自然给我们展示了谜面，而把谜底留给人们去探索。人类的智慧就是在探索和解释大自然谜底的过程中展现出来的。
韦达定理是初中代数课程中最耀眼的定理。从“方程系数”的谜面，到达“方程之根”的谜底，二者之间居然有一座桥梁相通，借此可以跨过“已知”到“未知”的界限。“大爱无疆”，“大美无形”。韦达定理显示了人类智慧的“大美”。它没有可供视觉欣赏的美感，却有震动心灵令人叫好的美觉。这正是：
造物鬼斧神工存天理，人间巧思妙想解方程。
在方程理论上，韦达定理功莫大焉。至于它所体现的对称性、和谐性、实用性，则是数学美的又一番天地。
太仓市沙溪实验中学 龚辉
义务教育阶段的几何学可以分为直观几何学和演绎几何学两个水平。小学里学习的手段主要依靠直观，拼一拼、量一量、折一折，得到的结论就是对的，其中虽然也有逻辑演绎成分，但是很少；到了初中阶段，则主要学习演绎几何学，以培养理性思维为主要需求，但也要源于直观，努力从感性升华为理性。
那么，怎样认识几何直观和理性思考之间的关系呢？本文拟作一赏析。
一． 归纳思维：人和动物的区别。
让我们从一种自然现象说起。有人说动物也懂得几何学，例如，蜘蛛织出的网是八边形的，蜜蜂的蜂房是六边形的，所以昆虫懂得几何学。更进一步的例子是说狗也懂得几何学，例如，你把一根肉骨头丢出去，它一定沿着直线奔过去，所以它知道两点之间的连线以线段为最短。
于是，曾经有人评论说，中学里的几何学说“两点之间的连线以线段为最短”连狗都知道，还要我们一本正经学习它，有什么用呢？
这就涉及到人的理性思维问题。
动物的行为符合几何学原理，乃是本能所致，并没有、也不可能得出任何两点之间距离这样的概念，以及“以线段为最短”的结论。只有人，才能有这样的概括。这就是人的理性精神。
只有人，才能够进行抽象的归纳。一个有趣的问题是，生来就是盲人的学者可以学习几何学吗？答案是肯定的。盲人通过触觉，可以得出任何两点之间都以线段为最短的结论。正是基于人类具有归纳抽象的天然能力，即使不用眼睛直观观察，也可以得到正确的几何学结论。
有人说直观不可靠，因为有错觉。由此认为直观的结果不能相信，甚至有“不要相信自己的眼睛”的说法。例如右图中的5条直线平行吗？显然，度量的结果与眼睛所见相悖。类似于此的使人产生错觉的图形还有很多。俗话说“耳听为虚，眼见为实”，然而在学习几何时，眼见未必为实。几何要相信自己的眼睛，但千万不能过分依赖于自己的眼睛。
这一论述，尽管有一定的合理成分，却未免言过其实。眼睛的错觉只是感觉层面的问题，但是人有头脑进行分析，可以避免错觉。上述的例子中，眼睛虽然不能判断5条直线的平行，但是通过度量（仍然要依靠眼睛）就能够纠正这种错觉。因此，不能用眼睛的错觉来否定人的直观性，包括几何直观。
小学几何教学更多地关注的是实验几何、经验几何和直观几何，让学生感受几何直观的作用，培养学生的几何直观能力。通过学生的拼一拼、折一折、量一量等操作之后，更多的是要求学生相信自己的眼睛，经过不完全归纳之后，就可以得出一些正确的结论。
例如，“三角形内角和为180度”的论断，在小学里是通过剪拼活动得到的。虽然大家测量的结果，并非恰巧为180度，或者179度，或者181度等等。但是，人可以用归纳的方法，接受“内角和为180度”的结论。这和做一个物理实验，验证100摄氏度的水会沸腾的结论，在思维方法上完全相同。
有些结论不很显然。例如随便画一个三角形的三条高，好像交于一点，奇妙极了。然后再画几个三角形，其三条高仍然交于一点，太巧了。这个画法可以重复，相当于物理学做实验，几次验证的结论都大体上相同。我们也已经可以相信它是真理了。不过，这个结论并非一眼就能得出，细心的学生就会想：这个结论到底对不对呢？但是，最后还是将信将疑地接受了这一结论。
应该说，直观总的说来是可靠的。人类的知识大部分是依靠直观观察，通过分析比较，归纳总结得出来的。物理学用仪器观察，化学用实验检测，生物学和地理学靠野外考察，都是首先运用直观的方法获取资料，经过归纳整理，得到的系统知识。
那么，为什么我们还需要超乎“直观”的理性精神呢？直观几何为什么要提升为演绎几何学呢？其根本原因在于归纳思维的确存在着某种缺陷。
二．公理化的演绎数学：理性精神的典范
归纳推理得到的结论大部分是对的，但是仍然不能保证绝对正确。古希腊以欧几里得为代表的智者，完成的《几何原本》的伟大著作，展现了公理化数学体系巨大威力，成为人类理性文明的一面旗帜。
17世纪伟大的数学家和哲学家莱布尼兹，是一位“唯理论”学者。他在名著《人类理智新论》中说[1]：
能够印证一个一般真理的例子，不管数目怎样多， 也不足以建立这个真理的普遍必然性。特别是在算术和几何学中所见到的那些必然的真理，应该有一些原则可以不依靠实例来证明，因此也不依靠感觉的见证，尽管没有感觉我们永远不会想到它们。
这段话表明，没有直观的感觉，永远想不到一些命题，但是由直观对象概括的知识是否一定正确呢？要证明这个命题的普遍正确性，只靠不断地举例是不够的。物理学等其他科学尊重的可以重复地实验举证，在数学家看来还不具备普遍的真理性。
莱布尼兹在上述论文中继续指出：
感觉永远只能给我们提供一些例子，也就是特殊的或个别的真理。这一点必须辨别清楚，欧几里德就很懂得这一点，他对那些凭经验和感性影象就足以看出的东西，也常常用理性来加以证明，只有理性才能建立可靠的规律，并指出它的例外，以补不可靠的规律之不足，最后便从必然后果的力量中找出确定的联系。这样做常常使我们无需乎实际经验到影象之间的感性联系，就能对事件的发生有所预见，而禽兽则只归结到这种影象的感性联系。
记得小学时老师在推导圆锥体积公式时用倒沙的办法，做一个与圆锥同底等高的圆柱，将圆锥里盛满细沙，然后倒入圆柱容器内，当时觉得很奇怪，三次正好倒满圆柱容器，也不会去细究误差多少。通过几次重复的实验就得到了圆锥公式，然后更多的是通过练习强化公式的记忆；再有一个深刻的例子是推导圆柱的体积，每个学生回家切一小段萝卜，然后在课堂上垂直等分，大致切到8份已经不错了，再分就快成萝卜干了，然后老师让我们拼成一个长方形，当时总是想不通，怎么会拼成长方形呢？还有萝卜的水分跑掉了，体积不会改变吗？总之是懵懵懂懂地就学会了这个公式。这种经验性、描述性的学习方法在初始阶段是必要的。但是如果停留在这一认识阶段，就离开了初中阶段几何教学的目标。
数学地看，“三角形内角和为180°”的命题，“量一量”是不算数的。光有几何直观，数学教学就回到尼罗河时代了。有证明的必要，才会有学习的冲动，才能认清定理的本质。古希腊学者的深邃思考，把它归于更原始的公理，并且必须由平行公理出发用逻辑演绎方法加以证明。要欣赏数学的“真”，就必须挑明这两者的区别。这样的认识，不会自动产生。只有教师把问题挑明了，学生感到数学推理的价值了，数学“欣赏”也就在其中了。
记得著名作家谈祥伯先生说过这样的故事：他是1947年上海大同中学的毕业生，60年之后，老同学聚会见面，几位研究物理学的老同学说，一个物理学定理成立，只要重复做几次实验，结果都稳定地体现某一个规律，研究就算成功了。可是数学则不行。比如，哥德巴赫猜想是说“一个充分大的偶数必定可以表示为两个素数之和”，虽然我们已经用超级计算机验证过，凡小于1013的偶数都是两个素数之和，但是仍然不能说这个猜想已经成立。
比如，上面提到的三角形的三条高交于一点的结论，只有用逻辑证明之后，才会确信无疑。此时的证明，会像醍醐灌顶，豁然开朗，受益无穷。
再举一个教学设计的例子：“对顶角相等”，这是平面几何开头的第一个定理。定理本身非常直观，无庸质疑。如果就事论事地解说一番，或者时髦地让学生“量一量”、“拼一拼”那样地活动一下，都不能使学生获得数学之“真”的欣赏。
事实上，我们的主题不是“对顶角相等”的知识本身及其如何证明，关键是要问：这样明显的命题要不要证明？一般而论，这么简单的问题何须证明？一本正经地证明一番，岂不是自找麻烦？但是古希腊数学家认为需要证明。认知冲突发生了，数学教学进入了核心部分。
如图所示，∠AOC＋∠COB＝∠BOD＋∠COB＝180°，两边减去∠COB，即得∠AOC＝∠BOD，命题得证。
问题归结为“等量减等量其差相等”的更加明白易懂的这一公理加以证明，恰是人追求伟大理性精神的关键一步。只有把教学重点放在“要不要证”，而不是让学生被动地接受这一命题的知识，才会让学生知道自己的浅薄，体验古希腊理性精神的伟大。
从“显然正确因而不必证明”，到“崇尚理性需要证明”，是一次思想上的飞跃和升华，可以说震撼了莘莘学子的“灵魂”。不过，现行的教材大多没有这样写，课堂上教师也很少这样教。许多学生犹如猪八戒吃人参果，吃到肚里却不知道什么滋味，未免可惜。当数学理性的“欣赏”出现缺失的时候，当知我们努力之所在了。
三．中国科学传统中缺乏理性思维的成分，几何教学应当加以补足。
中国古代数学具有辉煌的成就，尤其以算法体系的特征，为人类的文明进步做出过重大的贡献。中国的几何学，以勾股定理为核心，运用一些逻辑推理方法，得到了许多重要的结论，并服务于天文、建筑、治水等许多科学工程问题的解决。但是，无庸讳言的是，中国的几何学缺乏严密的公理化体系。中国古代数学中，没有“角”的概念，更没有“对顶角相等”、“三角形内角和为180度”这样的命题。
正是对数学理性精神的欣赏与震撼，使得徐光启发出《几何原本》“以当百家之用”的呐喊。徐光启在《刻几何原本序》中所说，对于几何学提供的知识，我们有四不必：“不必疑，不必揣，不必试，不必改”；有四不可得：“欲脱之不得，欲驳之不得，欲减之不得，欲前后倒之不得”[2]，颇为震撼。徐光启作为首先接触这一严密逻辑体系的中国人，他敏感地觉察到这种定理体系的叙述和中国古代数学著作的本质区别。他认为，几何是理性的思维，几何问题由“四望无路”到“蹊径历然”、“自首迄尾，悉皆显明文字”。
联想到我们的几何教学，是否也能让学生具有徐光启那样的感受，接受古希腊理性思维的洗礼呢？数学课上如果老是“做题目”，不能触及数学思想，不能在情感上得到某种震撼，几何学的教学目标就丢失了大半。
中学生的几何学习从“拼”开始最终还得落实到“证”。至于这时机如何拿捏倒是学问。教材和教师都要精心设计使学生从直观几何到论证几何、从归纳推理到演绎推理的过渡阶梯。
四．理性思考，导致更深刻的应用。
人之所以区别与其它生物而主宰了世界，一个重要的理由是，动物的某些符合数学原理的行为人也能做，然而，人更为出众的是，善于从一些纷杂的现象中归纳出规律，并跳出经验的层面，用理性去分析和研究它，并最终在改造自然的实践中得以运用。
例如，本文一开始举的“两点之间的连线以线段为最短”的例子，戏谑为连狗都知道的道理。但是人要做的，若重复着狗的做法，比如在草坪里踩出一条所谓符合数学公理的捷径，那便是一种悲哀了。人们从众多狗儿们的表现中，明白了一个公理，并能理性地进行归纳、总结，应用于各种不同的情形，包括生活实践，那才是人应该做的事。
比如说，小狗在一条水渠的一边A地，肉骨头在水渠的另一边B地，显然，出于动物的本能，他会跳过水渠而直奔肉骨头而去。但是，问题如果改为，小狗从水渠的一侧A地要跑到同侧的B地，且小狗很渴，中间必须在水渠里饮水一次，问最短路线是怎样的（如图所示）。
那么，小狗是断然不会想到作点A关于水渠的对称点A‘后再连结A’B，找到A’B与水渠的交点的，这就是人的理性精神有别于其它动物的真实写照。可以相信，口渴的小狗一定会直奔水渠而去，然后再直奔B地的。虽然它仍然符合另一个数学原理“点到直线间的距离以垂线段为最短”，但小狗却只能是小狗，因为它只是出于动物的本能，不会理性地分析，在各种不同的方案中进行取舍。而人却可以做到。
所以说，从几何直观到几何的理性分析，我们既要解决这个问题是怎么来的，还要解决要不要证和如何证的问题，更重要的是解决怎么用的问题。因为，数学规律上升到应用的层面，理性的认识才能更深刻地感觉。
【参考文献】
[1]莱布尼兹：《人类理智新论》全文见http://www.lantianyu.net/pdf22/ts060048.htm蓝田玉pdf文档网
[2]齐民友 中国人眼中的欧几里得《几何原本》[J] 《数学教育学报》 2003年01期.
【张奠宙点评】理性思维是中国传统文化中所缺乏的．对顶角相等这样的命题是不是要证明？两点之问以直线段为最短是否连狗也知道？类似的问题，在数学课堂上未见得得到深入的讨论．如果老师面对这样的数学命题，只是就事论事地交代一下结论，不能揭示其中的数学理性内涵，真如“入宝山而空返”．欣赏这样的几何命题背后的理性精神才是数学教学的真正价值所在．常常听到一些议论，离开了数学命题证明谈“欣赏”，等于在课堂上讲废话．其实学生们真正记住了，而且终身不忘的，往往就是这些废话．此外，像对顶角相等这样的命题，只有揭示了背后的理性价值，才会知道它的可贵，从欣赏它到理解它，再到运用它．
本文的另一个亮点，是对错觉的分析．我们强调理性的重要，绝非贬低直观的作用．忽视眼睛的作用，抹杀感性认识的重要性，则会陷入唯理主义的泥潭.事实上，错觉可以用理性思维纠正，而纠正过程中仍然要用眼睛．直观要上升为理性，理性却以直观为来源．直观系拙上的理性，理性支配下的直观，彼此结合，才会有正确的认识．因此以为发生错觉，就断言“不要相信自己的眼睛”，乃是误导．
太仓市沙溪实验中学(215421) 龚辉
【摘要】数学建模是数学教学中的一个热点话题，然而能从数学欣赏的角度审视我们的数学建模教学的少见诸报端。本文试从数学建模的核心思想和理性精神两个视角，以详实的教学案例为载体，谈数学教学中开展数学建模的尝试与思考，领略数学“真”与“善”的一面。
【关键词】数学建模 数学欣赏 理性精神
数学是一门工具学科，它的一个重要的特征是应用的广泛性。数学知识推动了社会科技与文明的发展，以其独特的方式为人类文明的发展服务，这是数学“善”的表现。不论是用数学方法在科技和生产领域解决实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解。因此，数学应用，主要通过建立数学模型来体现。
然而，我们的教学重心大都多放在了如何进行数学建模和建立怎样的数学模型上，而很少考虑建模背后的理性精神。因此，领略数学“真”与“善”的一面，数学欣赏的一个重要任务是培养学生应用数学的意识和能力，感悟抽象数学模型背后的智慧结晶。
1．数学建模的核心思想在于“拉关系”
数学是一门研究关系的学科。数学有三大关系：等价关系、次序关系和量的依赖关系。数学建模的本质是“拉关系”，它是连接数学与实际生产生活的桥梁。
1.1在应用题教学中渗透建模思想
传统的教材和教学中，应用题大多被人为地分割成若干单元，采用分类的教学方法，并冠以“数学建模”的美誉。例如应用题被分为“行程问题”、“工程问题”、“增长率问题”、“等积问题”、“劳力调配问题”等等，而“行程问题”又被细分为“相遇问题”、“追及问题”、“火车问题”、“环形线路问题”等等，追求细而全，只注意其表象的不同，而忽略了在共同之处建立数学模型，所以说这样的建模并不是真正意义上的数学建模。
那么，如何将这些看似风马牛不相及的问题“拉上关系”呢？
纵观“行程问题”、“工程问题”、“增长率问题”等，它们都涉及到了三个变量，如“行程问题”中的路程、速度和时间，“工程问题”中的工作量、效率和时间，“增长率问题”中的本金、利润和增长率等。教师如何“借学生一双慧眼”，透过这纷饶的现象看到其本质，是应用题教学的重点和难点。笔者在教学实践中，将这一类问题归结为a＝bc型问题，在具体操作中引导学生作如下思考：若已知a，设b，列出关于c的方程；若已知a，设c，则列出关于b的方程等等。即在三个量之间建立关系，从而列出方程求解。这样的建模能有效地帮助学生找到解决问题的突破口。
另外，当我们审视现行的应用题教学时，仍惊异地发现：教材或习题中随处可见的仍然是“修一条水渠……”、“加工一批零件……”、“一个进水管一个出水管……”等严重脱离了学生生活实际的“经典”应用题。学生既不知所学的数学“从何而来”，更不知将“走向何处”，这样的建模，是一种机械的“拉关系”。他们每天只是在反复地“类化”训练，在题海中培养所谓的数学技能。而一旦面对真实的、源于生活的问题情境，学生们往往束手无策，更别说通过数学学习来促进他们“初步学会运用数学的思维方式去观察和分析现实社会，解答日常生活中的问题，进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神”了。
1.2感悟数学建模中模型的普适性
数学建模是把现实世界中有待解决或未解决的一类问题，从数学的角度，运用所学的数学知识与技能求得解决的方法。这里强调的是“一类”相似的实际问题。
例如，在我国古代数学巨著《孙子算经》中，有关于“鸡兔同笼”问题的研究。我们现在的数学课不能只讲时髦的GDP增长率、股票分析等，中国传统的数学经典还要讲，但关键是如何讲，如何帮助学生建立数学模型，如何透过这些经典问题展示数学的“善”？
“鸡兔同笼”问题的本质是不定元可以和数字一起运算。也就是说，代数的实质是用文字代表未知数，而且由文字代表的“未知数”和已知数可以进行运算，即进行“式”的运算。“鸡兔同笼”问题中的 x，y 代表鸡、兔并非是问题的实质，关键是鸡、兔数（x，y…）可以和数字一样进行运算。
然而在教学中，如果仅仅拘泥于如何得到正确答案，则没有数学建模的味道了，即使教师是如何地强调建模的重要性，学生依然是云里雾里。因为从数学建模的角度来看“鸡兔同笼”，我们关心的是这样两个特征的问题：1.有两种东西（鸡，兔）；2.这两种东西都有同一个特征（有腿），但特征的数目不同（鸡有2条腿，兔有4条腿）。这样就是透过数学建模折射出了数学的理性精神，即数学的“真”。
日本有“龟鹤问题”，说“龟鹤同池共250只脚，龟头比鹤头多10只，问龟鹤各多少只？”。估计日本人对鸡兔同笼问题也有所研究，并编制了属于自己的数学问题，用时下流行语说这叫做“山寨”。但是我们不得不佩服这样的“山寨”，因为它揭示了“鸡兔同笼”问题背后的数学理性精神，为什么我们的学生不能编出“猪鹅同笼”问题、“鸭猫同笼”问题呢？这都是数学建模所要传达的内容。
更深一层，例如我国古代的“百钱买百鸡”问题、和尚分馒头的问题等等，都可以用这样的数学模型解决。甚至学生也可以自编如下的问题：信封里放了2元和5元的纸钞共7张，计29元钱，问这两种纸钞各多少张？这样的教学，学生学到的不仅是知识，更多的是智慧。
2．数学建模的最终目的是建模的意识
数学建模的高明之处，在于在看似没有关系的地方构作关系，看似与数学不相干的地方运用数学知识去解决。袁枚曾说：“学如箭镞，才如弓弩，识以领之，方能中鹄”，意思是说，有知识，没有能力，就象只有箭，没有弓，射不出去；但是有了箭和弓，还要有见识，找到目标，才能打中。所以，用数学的眼光看待生活中的问题，是我们数学教学在情感、态度、价值观上得以体现的一个重点。
2.1善于从生活中总结出数学原理
数学不是从天上掉下来的，也不是数学家和教材编写者头脑里特有的，数学是从现实生活中抽象出来的。我们要从大千世界中寻觅、捕捉具有数学信息的现实背景。
例如，麻将是我国古代除指南针、纸、火药、印刷术外的又一大发明。据说起源于秦末汉初，是我国民间娱乐的特色之一。然而，我国有这么悠久的麻将历史，却没有能够产生概率论，而是荷兰科学家惠更斯在赌徒分赃的基础上潜心钻研，写成了《论赌博中的计算》一书，第一次提出数学期望的概念，开了概率论的先河。可以说，“概率论”是肇始于民间的赌博游戏，只是我国的麻将迷失在表面上看起来毫无规律的输输赢赢之中，却在理性提高的道路上戛然而止，最终没有形成理论，被西人无可争议的捷足先登了。
2.2我们需要的是数学建模的主动意识
一个人的数学素养不仅在于其掌握数学理论的多少，也不在于其能解决多少数学难题，更重要的是看他能否自觉地运用数学知识去解决现实生活中的实际问题。感受数学思维的深刻性，要在看不见数学的地方，构建数学模型。
例如，篮球是一项深受人喜爱的运动。究竟如何提高进球率，是每一个篮球运动爱好者梦寐以求的问题。篮球中有一种进球叫“打板”，就是将球打在篮板上，利用球的反弹进入篮筐，并且这样的进球率与其它进球方式相比相当高。但是，会有多少篮球爱好者会用数学的眼光看待它的原因呢？
在忽略一切外界条件（球的变形、风、空气阻力等）的影响下，假定：1.球在篮板上的反射严格遵照光的反射原理，即入射角等于反射角。2.在二维空间（俯视）内进行问题的研究。3.同时假设篮球在空中的飞行轨迹是标准抛物线。在此基础上，可利用二次函数的性质建立相应的数学模型，最终取得了很好的效果。
再如，1990年的某一天，陈振宣先生对数学教育家张奠宙教授说了一个“三根导线”的故事：他的一个学生毕业后在和平饭店做电工，工作中发现在地下室控制10层以上房间空调的温度不准。经过分析，原来是空调使用三相电，而连接地下室和空调器的三根导线的长度不同，因而电阻也不同。剩下的问题是：如何测量这三根电线的电阻呢？显然，用电工万用表无法量这样长的电线的电阻。于是这位电工想到了数学，他想：一根一根测很难，但是把三根导线在高楼上两两相连接，然后在地下室测量“两根电线”的电阻是很容易的。设三根导线电阻是x，y，z，测量“两根电线”的电阻值分别为：a、b、c，于是他列出以下的三元一次方程组：
解出x、y、z，即得三根导线的电阻。
这样的方程组谁都会解，但是，能够想到在这里用方程组才是数学建模的真谛，我们为这位电工的数学意识所折服！
在数学建模方面最令人折服的是，二次大战后的1948年在美国出现的三项伟大成就：维纳发表的《控制论》、仙农发表的《信息论》和冯•诺依曼的计算机方案。其实，令人折服的不仅是他们三个人在1948年不约而同地做出了创造性的贡献，而是这三项成就，不是通常我们所解决的那些数学问题。普通人无法想象：打电报传送的信息，可以是数学研究的对象吗？用大脑控制手去拾地下的铅笔，可以构成“数学控制论”吗？研究数字电子计算机会改变时代吗？因此，在看起来“没有数学问题”的地方发现数学问题，那往往是“大”的数学创造。对基础教育者来说，如何培养学生欣赏这样深刻而重大的数学之“善”，并自觉地运用在日常生活中去，值得深思。
欣赏数学的“真”和“善”，感受数学建模背后的理性精神，要帮助学生认识到，数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学，我要学数学！这样，原本觉得十分枯燥的数学一下子变得鲜活起来。
【参考文献】
[1]张奠宙 柴俊 欣赏数学的真善美[R] 华东师范大学 2009年；
[2]许建生 数学建模在初中数学应用题的运用[J] 福建中学数学 2004年03期
欣赏“圆”的复杂性
——一种来自建构主义的分析
太仓市沙溪实验中学（215421） 龚辉[4]
【引子】
在进行《圆的概念》的教学中，遇到下面的情况：
师：同学们小学里学过圆吗？
生（众）：学过．
师：学到了关于圆的什么知识？
生1：圆的半径、直径、周长、面积……
师：既然我们已经学过圆了，那你知道什么是圆吗？
生2：地球是圆．
生3：篮球也是圆．
生4：还有车轮、圆盘……
圆盘是圆吗？篮球是圆吗？
【认知冲突】
儿童从呀呀学语开始，就有了“圆”的意象：妈妈说球是圆的，爸爸说碗是圆的．玩具积木中的圆形块和方形块已经能分得很清楚．因此，到了初中阶段，学生脑子里已经形成了“圆”的认知结构．我们必须从这些已经形成了的认知结构去构建数学上的“圆”的概念，以形成新的认知结构．但是，学生已有的一些日常生活意象并不都与所要学习的数学概念一致，有时还可能是“断裂”或“冲突”的．因此，正如建构主义学者而言，学生的头脑不是空桶，不能随便往里倒东西．近年来，西方科学教学研究者（Posner等）根据建构主义理论，提出概念转变学习观（Conceptual Change Learning），认为学习是学生原有概念的改变、发展和重建，是学生的日常概念向科学概念的转化．皮亚杰的建构主义的基本观点强调知识的“同化”和“顺应”，提出建构是“个体将外部刺激纳入原有的认知结构，并最终影响个体认知结构的过程”[1]．因此，学生大脑中原有的关于“圆”的认知结构，要和数学概念中的“圆”的认知结构进行“同化”和“顺应”．
建构主义认为，知识是“主体”主动建构的结果．确实如此，每个人的头脑里都有自己的关于“圆”的认知结构．尽管引例中的“生1”已经谈及了数学的“圆”，可是后面的几位学生，还是展示了他们自己的关于“圆”的知识结构，以至和数学的平面图形的“圆”发生认识上的断裂和冲突．这是建构主义教学观较过去一些理论更为深刻的地方．
不过，一些激进的建构主义认为，“要放弃那种通过知识表征独立于认识者世界的追求”[2]．学生头脑中的圆，不是客观世界圆形事物的反映．世界上只有头脑中的圆，我们无法确认独立于认识者的客观的“圆”的存在．这很可能导致唯心论，应当警惕．
【抽象与想象】
一般认为，抽象是对事物本质属性的概括．数学对象是从生活对象中抽象出来的．数学概念“为儿童日常概念的发展创设了‘最近发展区’，而源于儿童生活经验的日常概念则是数学概念发展的重要前提”．因此，圆的数学观念，是从现实世界中的圆形物抽象出来的．
但是，建构主义者认为，不能笼统地谈抽象．抽象，不能仅仅限于观察具体事物之后经过归纳的出来的结论，人的能动性远超于此．数学上的“圆”，是一条和固定点等距离点的轨迹，它是一维的没有宽窄的、其上有无限多个点的曲线．这样的对象，“来自我们动态想象和建构运动．事实上，这就是皮亚杰所说的运演性而非修饰性，或者叫做感知结构，因为它是从我们自身执行的运演中抽象出来的”[3]．
建构主义的这种说法很有道理．人的思维所具有的强大的能动性，会超出日常情景的藩篱，加进一些日常生活中没有出现的思想内容．这的确不是从客观世界中归纳出来的，而是人脑运演的产物．
例如，教材上说，线段是直线上两个点和它们之间的部分．那么什么又是直线呢？教材只有描述性的语句：在日常生活当中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线，都给我们以线段的形象．但是，数学上的直线是可以向两端无限延伸的、也是没有宽窄的几何对象．“无限延长”，只存在于人的能动的想象之中．又如，老师在黑板上用粉笔画一个三角形，其实很粗糙，但是学生头脑里出现的是三条没宽窄、完全笔直的、连续无空隙的三条边．这是主动建构的结果．天下并不真实地存在这样的三角形．
但是，有些建构主义者认为人的抽象能力是超经验的．针对于此，格拉塞斯菲尔德指出：“我们能定义‘存在’的意义，但是只有在我们的经验世界的领域中，而不是在本体论的意义上．”[4]．那种认为建构主义是否认客观世界真实性的论断，“是对建构主义的根本误解，它源自对认识概念转变的抵制和拒绝．”因此，如果说数学的圆和客观世界的圆形没有关系，那也是不对的．
【一个怪问题】
张奠宙先生转述已故华东师范大学程其襄（1910-1990）教授的一个问题：三角形究竟带不带边？
程先生说：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，现在若从三角形的一个顶点处引一条直线，与对边相交（如图所示），是否将原三角形分成两个小三角形？结论似乎无可争议的：显然分成了两个小的三角形（△ABD和△ACD）．然而，边AD只能属于一个小三角形，另外一个小三角形就缺了一条边了．程教授于是问，缺了一条边的三角形也是三角形吗？它还是首尾相接的三条线段组成的封闭图形吗？由三根小木条围成的三角形模型如何加以解释？
大家都没有考虑过这个问题，平面几何照样可以学下去，为什么？原因在于，我们的大脑具有自动的想象力：三个顶点三条线段形成的三角形，无论有边无边，有几条边，都视为同一个三角形．这个认同是与生俱来的，几何课上从来没有人觉得有什么疑问．大家都是“难得糊涂”，见怪不怪．
建构主义把人的思维的能动性做了深入的阐述，让我们从使用归纳方法形成概念、并借以表达事物本质属性的思维过程，进而认识到“头脑”经过加工、扩展、想象，可以产生带有主观色彩的思维对象．在这个意义上，我们对自己的大脑还是了解得很不够，应当向建构主义理论学习．
【圆的复杂性】
回到“篮球是圆的”问题．
圆是名词，也是形容词．可以分成很多层次进行理解．
只要在网上随便搜索一下“圆”的教学，就会看到许多教案，把三维的圆柱、二维的圆盘和一维的圆周统称为圆的现象．以下是录自某教案的原文：
l 圆的本质特征：圆是到定点的距离等于定长的点的集合．（“定点”、“定长”是一维的定义）
l 教材先呈现了象棋面、圆桌面这两个看不到圆心的圆形物体（三维物体的一个二维表面），然后呈现了钟面、车轮、圆形中国结等可以看见圆心的圆形物体（车轮是三维的圆柱体），让学生在以前初步认识圆的基础上初步感受圆心的作用，比如钟表的表针围绕着中心点旋转．（这是二维钟面的中心点）
l “车轮为什么是圆的”，应用所学的知识解释生活中的一些现象，进一步在解释生活现象中体会圆的本质特征．（又是三维的圆柱体）
l “圜，一中同长也”的意思是：圆有一个中心（即圆心），圆上各点到圆心的距离（即半径）都相等．（一维的定义）
在短短一页的教案中，就出现了如此多的“圆”的不同表述，难怪学生要说“篮球是圆的”了．
事实上，“圆”的用法有以下五类：
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1 |
光滑．“方”、“有棱角”的反面．区别于多边形的一个特征，如方桌的圆角．引申义：圆滑、圆满等 |
一、二、三维都用 |
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2 |
圆形．有圆的成分．如篮球是圆的，西瓜是圆的，摩天轮是圆的，帐篷是圆的等．多半指球体、圆柱体、圆锥体．也有圆茶壶，圆形建筑等 |
三维物体 |
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3 |
圆盘，指圆的边界和内部．钟面，车轮的表面．一般地，如说”圆”面积, 其实是圆盘的面积。 |
物体的二维表面 |
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4 |
圆周．圆桌的边界，车轮的外缘．直观的圆周形象。 |
一维几何对象：二维区域的边界 |
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5 |
数学的圆．“一中同长也”．平面上与定点保持确定距离的点的轨迹 |
纯粹数学定义 |
英文中circle是圆的统称．circular，round则指圆形．disk则专指圆盘，circumference则是指圆周．
人的大脑能够容纳“模糊”的概念，“圆”是一个统称．在不同场合有不同的用处．圆的教学的复杂性， 正在于此。
【教学建议】
皮亚杰认为个体的学习过程是“平衡—不平衡—新的平衡”的认知发展过程的统一．原有认知结构与新的认知结构产生矛盾或认知冲突，就会出现新的不平衡，从而形成对原有概念的同化和顺应[5]．
在《圆的概念》的教学中，从展示生活中的圆的实物（例如车轮、圆盘、篮球等），到历史上不同民族对圆形的认识而产生的文化差异。玛雅人尽管有“圆”的观念，但没有用来制造车“轮”，这也许是玛雅文化导致消亡的原因之一．用学生熟悉的事例加以分析，引导学生综合它们的共同特征，从而抽象出圆的概念的本质属性：有中心，圆的边界与中心距离相等这样一些直观的感受．这只是第一步．
如上所述，学生头脑中原有的圆的印象，有圆形物体（例如车轮等）；立体的圆形物体，如球（ball）；平面中圆形的物体，如圆盘（disk）；从语文角度来说，圆是一个形容词，如十五的月亮十六圆等等；最接近于数学中圆的认识是“一石激起千层浪”，投石点可以视为圆心，而涟漪则视作圆周．我们承认它们都和圆有关．但是这仍然不是数学的圆．从数学角度来说，“轮子是圆的，但它就是圆吗？”
因此，教师必须揭示数学中的圆周乃是“到定点的距离等于定长的点的集合”，简称为圆．它是一维的几何图形．由于几何的点没有大小，圆周也没有宽窄，是一个人的大脑运演的结果．它源于生活中的圆，但是高于生活中的圆．这是圆的教学中不可缺少的第二步．
圆的教学，看来还是很复杂的．
【警惕建构主义教学观的片面性】
建构主义的有些观点，我们需要进行分析．例如一些作者认为，任何知识在为个体接受之前，对个体来说是没有什么意义，也无权威可言．所以，教学不能把知识作为预先决定了的东西教给学生，不要以我们对知识的理解方式来作为让学生接收的理由，用社会性的权威去压服学生．依照这种观点，完全排除了人类积累的知识的权威性，否定“接受性”学习，否定教科书的重要性，否定教师的主导作用，那就会走向主观唯心的误区．
在美国的《数学论坛》网站（http://www.mathforum.com）上对“什么是建构主义？”的回答是：
“学生需要对每一个数学概念构造自己的理解，使得“教”的作用不再是演讲、解释，或者企图去‘传送’知识，而是为促使学生进行心智建构创设学习环境和条件．这种教学方法的关键，是将每一个数学概念按皮亚杰的知识理论分解成许多发展性的步骤，这些步骤的确定要基于对学生的观察和谈话．”
照这样的定义，教师不要演讲了，也不能传送知识了，教师只要创设环境让学生去建构就行了．于是，教师在课堂上的“主导作用”、“示范作用”不再提了，教师只能是旁观的“组织者、合作者、引导者”．这样的提法是有害的．例如，对圆的认识，应该是通过学生的意义建构和教师的耳提面命，继承人类既有的知识成果，通过新旧知识经验间的同化和顺应来建立正确的理解的．
此外，建构主义毕竟只是一种认识论．但是教学过程不能等同于认识论．认识论研究只关注如何认识事物，却不管认识的速度和效率，而教学则是有目的、有计划的、按照《课程标准》目标实行的班级集体认识活动．数学课程的目标，是要把几千年来人类积累的数学知识的基础部分，在短短的10来年中让学生学习并能理解和掌握．这需要很高的教学效率．但是，建构主义教学任凭学生的兴趣，自由摸索，却根本不谈认识效率．没有效率的教学是走不远的．
总之，对于建构主义学说，我们应当吸取其中的精华，拒绝一些“极端的”、“唯心的”成份，才能真正有助于我国的教育改革[6]．
【参考文献】
[1]Posner, G.J., Strike, K.A., et. al. Accommodation of a scientific conception: toward a theory of conceptual change[J]. Science Education, 1982(2).
[2]格拉塞斯菲尔德：教学的建构主义方法．收入斯特弗等主编《教育中的建构主义》（高文等译），华东师范大学出版社．2002：P6．
[3]同[2]P9．
[4]同[2]P6．
[5]谢明初.数学教育中的建构主义：一个哲学的审视[M].华东师范大学出版社，2007：P152－P178.
[6]张奠宙、宋乃庆．数学教育概论[M].高等教育出版社，2004：P183．
【张奠宙点评】本刊发表了一组“欣赏数学”的文章，多半从古诗和人文意境等处切入．这一篇有所不同，从哲学上进行欣赏．圆，本来是最简单不过的几何对象．甚至不学几何课程，也能理解什么是“圆”．但是，本文从“篮球是圆的”这样一个普通的教学实例出发，用建构主义的观点进行分析，就会生发出许多与“圆”有关的认识问题．一个“圆”字，竟有五种不同的观念形态，数学教师不可不察．至于问“圆周有宽窄吗？”、“三角形有边吗？”，可以引起我们的深度思考．皮亚杰关于人的认识的“运演性”，还需要我们仔细咀嚼，运用于实际教学．当然，建构主义，需要吸收其合理内核，避免走向唯心主义和否定一切的误区．
初中阶段如何欣赏美妙的“圆”
太仓市沙溪实验中学(215421) 龚辉[5]
圆，是一个看来简单，实际上是很美妙的图形．
古代埃及人认为，圆是神赐给人类的神圣图形．从“一石激起千层浪”到“大漠孤烟直，长河落日圆”，显然“在一切平面图形中，圆是最美的（毕达哥拉斯学派）”．但是了解圆未必理解圆，理解圆未必欣赏圆．初中生一提到圆，大多望而生畏，因为圆是初中阶段几何教学中涉及的第一个曲线型图形，有许多性质都是有异于直线型图形的．如果不从圆的本质进行教学并挖掘圆的美妙，学生的认识是有障碍和抵触的．
数学教育家张奠宙教授认为：“数学教学的目标之一是要把数学知识的学术形态转化为教育形态，通过数学知识的教育形式散发出数学的巨大魅力，体现数学的价值，揭示数学的本质，感染学生、激励学生，让数学‘冰冷的美丽’焕发学生‘火热的思考’”．因此，作为一线的教育工作者，我们在课堂教学中要帮助学生感受数学的美、欣赏数学的美，并不断地去表现数学的美，从而提高学生学习数学的热情和兴趣．
下面我们跳过感官层次的形式美，从圆的内涵谈谈圆独特的美．
视角一．圆到底是什么？
我们从牙牙学语起就接触圆，有圆的意象；到了小学还学习了圆的一些知识；到了初中更是系统地学习圆的知识，但是却未必能说清楚什么是圆．“十五的月亮是圆的”、“篮球也是圆的”、“车轮、圆盘都是圆的”……，这是学生对圆的感性认识，而往往生活中的圆与数学中的圆在理解上是不同的，这就是圆的数学本质．
从数学、语文或生活等不同的角度，对某些概念的理解是不同的．例如，从语文的角度来说，圆代表着圆满、圆形的，它是一个生活化的日常概念．而数学上的圆，则属于科学概念，它处于特定的理论系统之中，具有较高的抽象性和概括性．对于圆的内涵与外延，数学上更趋于精准，圆盘（disk）是不是圆？圆周（cricle）是不是圆？在语文和生活中不十分区别，但是数学不行．“圆是在平面上，一动点以一定点为中心，一定长为距离而运动一周的轨迹”，显然，在数学上，即使连“圆是圆周的简称”这一说法也略显“单薄”，因为作为一个数学图形，它应该有更多的内涵，如圆心、半径、周长、面积等．也正是这种对核心问题追求的精神，使美国学者泽布罗夫斯基“在凝望波涛的时候”而产生了写《圆的历史》这一迷人著作的冲动．
视角二．圆的应用价值
圆是一条“伟大”的曲线，在漫漫历史的长河中，圆对人类文明有着重要的影响．然而，我们现在对于圆的美学教学功能，大抵只是诉诸直观．学生说“车轮是圆的”，那么车轮为什么必须做成圆的呢？这是由圆的“旋转对称性”决定的．圆，从结构上看极其美观,从性质上看十分美妙！
古人仰望天空，最早从太阳、从满月得到圆的概念；山顶洞人用一种尖状器转着钻孔的，石器的尖是圆心，它的宽度的一半就是半径，一圈圈地转就可以钻出一个圆的孔；到了陶器时代，许多陶器都是圆的；当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺缍或陶纺缍；6000年前的半坡人会建造圆形的房子，美索不达米亚人会做圆的木盘；大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子．
最为有趣的是，玛雅文化的消亡之谜竟也与圆有关：玛雅人认识圆，他们的文字形状近似圆形或椭圆，他们的建筑也有圆形的，但是玛雅人没有金属工具，不会使用轮车．没有轮车，制约了玛雅的经济、政治甚至军事的发展，从而也是导致玛雅文化消亡的一个原因．为什么玛雅人有“圆”的观念，却没有“轮”的概念呢？可见，掌握一个概念不仅是表象的感知，更多的是内在本质的理解和应用．将知识自觉运用于实践，并非简单容易之事，需要有一个认识的飞跃，这也是欣赏数学的一个重要方面．
视角三．圆的运动不变性
世间万物都在变化之中，但只单说事物在“变”，不说明什么问题．科学的任务是要找出“变化中不变的规律”．例如在自然科学中，物体的状态在改变，但是物理学有动能守恒定律；化学反应中生成了新的物质，但是分子量的总值不能变．数学教学也应该多多地挖掘类似于此的美妙的规律．
圆周角定理即“同弧所对的圆周角都相等”，是一种不变性，虽然对着同一条弧的圆周角有无穷多个，但它们都相等，这是一个多么美妙的结论．正如韦达定理，一元二次方程有无穷多个，但是根与系数竟然有如此美妙、简洁的关系，令人赞叹．如果我们仅仅看到圆周角的顶点在圆周上运动，而不产生美好的联想，这样的数学教学味同嚼蜡．教师要通过理性的分析，发现其变中的不变性，这样才有科学的、美学的价值．关于圆，这个定理在重要性上是首屈一指的，因为在解决几何问题时它被使用的频率最高．
在圆中保持变化中的不变规律的定理、结论和试题都很多．例如苏州市某年中考题：如图1，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在 上取一点D，分别作直线CD，ED，交直线AB于点F，M．
(1)求证：△FDM ∽△COM；
(2)如图2，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在 上，仍作直线CD，ED，分别交直线AB于点F，M．试判断：此时是否仍有△FDM ∽△COM ？证明你的结论．
该试题绝好地展现了圆的变化中不变的美，但是如果学生不能从这个角度思考问题，这便是一道难题．图1中∠DMF＝∠AME＝∠AMC和∠FDM＝180°－∠CDE＝180°－∠AOC＝∠COM，在图2中仍然得到完美的呈现，并不随着点G的变化而变化，体现了数学中“动”与“静”的完美统一．
其实，圆中有许多奇妙的结论都与其运动不变的性质是息息相关的．研究不变性质和不变量，是一篇大学问，是一个令人震撼的大写的“数学美学精品”．
视角四．圆周角与曲直转化
学生学习《圆》普遍感到困难，原因很简单，在接触圆之前，几何问题几乎全部是直线型图形，学生也更习惯于解决直线型问题．如何突破这一瓶颈，打开一番新的天地？数学教学应该从数学本质上欣赏数学，而并非用大运动量的练习粗暴地解决．
圆周角是沟通曲线型图形与直线型图形的桥梁．
当圆周角的顶点在弧上移动时，它的度数永远等于所对的弧的度数的一半，这本身就是一个很美妙的结论，将弧的度数转化为学生熟知的角的度数，难点得到突破．而更为美妙的是，当顶点在圆周上移动时，只要确保所对的弧不变，圆周角也始终不变．这样，就可以将不易解决的图形转化为容易解决的三角形问题，那么，相似三角形、直角三角形就有用武之地了，难点最终得到突破．
尤其值得一提的是，作为圆周角定理的特例：“直径所对的圆周角是直角”，生动地体现了曲直转化的内在和谐美：直角来源于两条直线的垂直，本是直线形的重要特性，现在却在圆周上出现了！圆和直角，一曲一直，本来似乎没有关系，但是在圆中却神奇地连在了一起．另外，在初等几何的世界里，这个直角三角形的“小村落”，占有很特殊而重要的地位．最主要的理由是，直角三角形不但是三角学的出发点，而且初等几何的计算也永远离不开它！由直角三角形出发，我们可以开拓出许多条几何路径，条条皆是曲径通幽．而“直径所对的圆周角是直角”正是将圆与这个“小村落”建立了联系．
视角五．初高中对圆的不同认识
初中对圆的认识是基于欧几里得几何学的，而高中学习圆的知识是基于直角坐标系的．正如笛卡儿自己所说：“决心放弃那仅仅是抽象的几何．这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练习思想的问题．我这样作，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何”．
我们把圆看成是一个动点对定点O作等距离运动的轨迹，也就可以把圆看作是由无数到定点O的距离相等的点组成的．我们把点看作是组成图形的基本元素，把数看成是组成方程的基本元素，只要把点和数挂上钩，也就可以把几何和代数挂上钩．
碰巧的是，苏州市某年中考题中有这样的试题：如图，已知A、B两点的坐标分别为( ，0)、(0，2)，P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为________．
这个试题难倒了许多考生．但是如果能够跳出欧氏几何的框框，将圆真正看作平面直角坐标系内的对象，它的方程为：(x－ )2＋(y－1)2＝4，直线OP的方程为：y＝x，联列两个方程可立得P( ， )．
从这样的视角欣赏圆，体现了初高中数学教学的衔接．当然，我们并不是对初中圆的教学的忽视，也并不意味着将解析几何教学前置，这种“会当凌绝顶，一览众山小”的欣赏是作为数学教师所必须具有的数学修养．
如何在课堂教学中发掘数学的艺术魅力，相关的研究和实践还很少，特别是当前数学教学中某种过度功利性的趋向，往往掩盖了数学的美丽色彩，遮蔽了数学的文化光芒，使得许多学生无法喜欢数学，以至厌恶数学，远离数学．因此，作为一线教师，在平时的教学环节中应积极地渗透“欣赏”，使更多的人喜欢数学，真正地感受到“数学好玩”．
[1] 本文发表在《中学数学教学参考》2011年第三期．
[3]本文发表于《中学数学月刊》2010年第10期．
[4]本文发表在《教育科学研究》2011年第6期。
[5]本文发表在《中学数学月刊》2011年第7期。